摘 要:应力一直被认为是影响动脉血管平滑肌细胞组织性质变化的重要因素.利用零应力状态和张开角的概念,推导受内压的血管壁的内力分布的解析解,并对具体的实例进行计算分析.计算结果表明,张开角对于沿血管壁厚度方向变化的圆周方向应力分布具有非常强烈的影响.
在研究血管时,没有径向压力和轴向拉伸的管状血管一般被作为参考状态,并认为血管中的应力为零.但是, Fung[1]和Vaishnav和Vos-soughi[2,3]的研究成果表明,当血管处于零应力状态时,其几何形状并不是管状,而是张开的扇形.文献[4]和[5]的研究表明,这样切开的扇形的确处于零应力状态.在这种情况下,残余应力很容易被释放掉,因为此时的血管壁是可以任意变形的.处于零应力状态下的扇形血管,其特性可以用张开角来描述. Fung[6]的研究表明,零应力状态是在生理病理学状态下测量血管重新构型的最理想的状态.精确计算主动脉血管壁中的应力分布可以更加深入的理解循环系统的各种不同的生理功能和病理学的机制.
1 零应力状态和张开角
零应力状态,对于血管而言,就是将血管试样(一般是圆环状)沿着长度方向将其切开,释放掉血管中的残余应力时的状态.为了研究血管内部的应力分布,需要取零应力状态作为参考状态.使用零应力状态作为参考状态主要有以下原因:①对软组织进行适当形式的切割,可以容易获得零应力状态;②在此状态下细胞以及细胞外的基体不会因为有残余应力存在的原因而使实验结果产生较大的误差;③在一般问题中被作为参考状态的无载荷状态在生物体中无法准确获得.张开角是指血管被切开而形成的扇形部分的中点到扇形部分两端血管壁内侧的两条直线所夹的角度(见图1).在零应力状态下,血管的张开角度是变化的.
2 血管壁的内应力分布
2•1 假 设假设在零应力状态下,血管垂直于轴向的横截面是扇形,其几何形状和变形可用极坐标来表示.将处于自由应力状态下的血管的扇形弯曲成一个完整的圆,并且同时受到使其沿轴向拉伸以及沿径向膨胀的载荷作用.假设血管产生如下的连续变形.1)产生封闭圆的纯弯曲,如图2.由图2可得:2πro= lo2πri= ll(1)2ΘoRo= Lo2Θ0Ri= Li(2) 2)沿血管轴向为均匀伸长,令ε为轴向单位长度的伸长比).3)在保持ε为常数的同时内径和外径分别变为r1和r2的均匀膨胀.假设血管为不可压材料,则有Θ0(R2o-R2i) =πε(r2o-r2i) (3)通过测定lo, li,利用式(1)可以直接得到ro,ri.再通过测定Lo, Li,利用式(2)、(3)可以得到Ro, Ri和Θ0.这样便可以确定血管的零应力状态.零应力状态下,血管的几何形状用圆柱坐标可以表示为R2≤R≤R10≤Θ≤2Θ00≤Z≤L内径和外径分别表示为r1和r2的函数,则R1= R(r1)R2= R(r2)假设变形前坐标为(R,Θ, Z)的点在变形后坐标变为(r,θ, z),其函数关系如下:R = R(r) Θ=Θ0πθ Z =zε2. 2 本构方程 不可压材料的本构方程为τ=-pI+F• W C•FT(4)其中 p是静水压力; W是应变能函数;C为右Cauchy-Green应变张量;F为变形梯度张量,可以表示为F=FgFeF由两部分组成,其中Fg表示从初始的零应力状态变化到某一局部的零应力状态(中间状态)的生长过程.Fe表示从中间状态到最终状态的生长过程.对于轴对称形式的生长可写为Fg=gr0 00gθ00 0gzFe=λr0 00λθ00 0λz假设W为如下形式:W=12c(eQ-Q-1)+q2(5)其中Q = a1E2r+ a2E2θ+ a3E2z+2a4ErEθ+2a5EθEz+2a6EzErq = b1E2r+ b2E2θ+ b3E2z+2b4ErEθ+2b5EθEz+2b6EzEr其中 ai, bi, c为材料常数; Ei为Gauchy-Green应变(i=r,θ, z).2. 3 应力表达式将(4)式带入(5)式可得:τr=-p+[(a1Q*+ b1)Er+(a4Q*+b4)Eθ+(a6Q*+ b6)Ez]λ2r(6)其中Q*= c(eQ-1)同理τθ和τz分别为τθ=-p+[(a4Q*+ b4)Er+(a2Q*+b2)Eθ+(a5Q*+ b5)Ez]λ2θτz=-p+[(a6Q*+ b6)Er+(a5Q*+b5)Eθ+(a3Q*+ b3)Ez]λ2z(7)2•4 平衡方程体力为零时,轴对称问题的平衡方程为dτrdr+τr-τθr=0(8)对其进行积分可得τr=-p1-∫RR1τr-τθrdrdRdR =-p1-L(R)(9)其中 p1是血管内壁的压力;L(R) =∫RR1{[(a1Q*+ b1)Er+(a4Q*+ b4)Eθ+(a6Q*+ b6)Ez]λ2r-[(a4Q*+ b4)Er+(a2Q*+ b2)Eθ+(a5Q*+ b5)Ez]λ2θ}1rdrdRdR (10)由不可压条件可得drdR=Θ0πRrgrgθgzε(11)注意到Er, Eθ, Ez都是f (gr, gθ, gz)的函数,则可以对(11)式进行数值积分.对于已知的生长梯度gr, gθ, gz可得r2= r21+2Θ0πε∫RR1grgθgzRdR (12)当血管壁外侧压力为零时,p1=-L(R2) (13)由(6)式和(9)式可得p = p1+L(R)+[(a1Q*+ b1)Er+(a4Q*+b4)Eθ+(a6Q*+ b6)Ez]λ2r(14)因此,对于给定的(gr, gθ, gz)可以通过p1,R1和R2来确定r1,步骤如下.1)首先假设r1的初始值;2)令R=R2,由(12)式确定r2;3)调整r1,重复步骤2),直到对于给定的p1, (13)式成立为止.
3 算 例
材料数据如下:a1=0.832 a2=0.832a3=1.888 a4=-0.344a5=-0.344 a6=-0.344b1=41.22 b2=41.22b3=43.52 b4=13.29b5=13.29 b6=13.29(kPa)c =19.27(kPa) 在如下条件下对动脉血管的应力分布和变形进行计算和分析.在零应力状态下,血管中心线的长度是3cm,血管的厚度是0.18 cm; p1=1.32 kPa=100/7.5=13.3334kPa;ε=1.令gr=gθ=gz=1,计算α=0°,α=60°,α=100°时3种情况下血管的应力分布和p (见图3~图5).图3 α=0°时血管壁的应力1)α=0°, R1=0.3875cm, R2=0.5675cm;2)α=60°, R1=0.6262cm, R2=0.8062cm;3)α=100°, R1=0.9843cm, R2=1.1643cm.图4 α=60°时血管壁的应力图5 α=100°时血管壁的应力由计算结果可知,当α=0°时,血管壁内侧的应力大约是血管壁外侧应力的4倍;当α=60°,血管壁内侧的应力大约是血管壁外侧应力的2倍;当α=100°时,血管壁内侧的应力与血管壁外侧应力基本相等.
4 结 论
血管变形后血管的圆周方向应力为应力的主要分量,而张开角对于沿血管壁厚度方向变化的周向应力分布具有非常强烈的影响.因此在研究血管时,如果选取没有径向压力和轴向拉伸的管状血管作为参考状态,必须考虑张开角的影响.
参考文献(References)
[1] Fung Y C. What principle governs the stress distribution in living or-gans? [A]. In: Fung Y C, Fukada E, Wang J J. Biomechanics inChina, Japan andUSA. Proc ofWuhanConf [C]. China Beijing: Sci-ence Press, 1985. 1~13
[2] Vaishnav RN, Vossoughi J. Estimation of residual strains in aortic seg-ments [M]. NewYork: Pergamo Press, 1983. 330~333
[3] Vaishnav R N, Vossoughi J. Residual stress and strain in aortic seg-ments [J]. Biomechanics, 1987, 20: 235~23
