本文是一篇工程论文发表，本文针对含裂纹热传导问题，提出了一种有效的辛解析奇异单元。首先，根据辛对偶体系和变分原理推导出了由于裂纹面受到热流密度影响的解析特解，然后根据已经求得的辛本征解和特解构造出一种含裂纹热传导问题分析的辛解析奇异元。
1 绪论
1.1 选题背景及意义
二十世纪四十年代以来，在各式各样的领域内，不时就会产生因为断裂或者裂纹扩展的灾难性破坏事件，如碰撞引起的交通工具的损坏以及管道受压导致产生裂纹进而发生失稳扩展等，这一系列的事件都让人民的财产与生命受到了严重的威胁。因为产生裂纹的原因很难被具体定义，所以对于已经产生的裂纹能否接着发生扩展或者如何制止裂纹继续扩展的断裂力学的研究引起了学者的广泛关注。断裂力学的理论基础可以追溯到弹塑性力学，其主要探究的是含裂纹物体的强度和裂纹扩展规律的科学。在断裂力学的萌芽阶段，由于生产知识的积累，人们曾总结出一些材料的韧性指标，如冷脆转变温度、冲击能量等，它们都是一些定性的经验的参量，只能在一定条件下用于评定材料，而不能用于设计，检验样品相关安全性能的基本理论都是依赖于材料力学四大强度理论。但是与此同时四大理论并不能有效地解决低应力脆断问题，结构的安全性得不到有效的保障。同时，在低应力状态下材料的脆性断裂事件又常有发生，这种事件也能够看出四大经典强度理论具有其自身的局限性，还存在着许多经典理论无法解决的问题。断裂力学与材料安全问题息息相关，这种状况进一步推动了断裂力学的快速发展。
断裂力学[1-3]起源于经典固体力学，属于固体力学的一个分支。它主要用于研究含缺陷或裂纹的材料在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播以及止裂规律。随着理论研究的不断深入，各种基础理论被不断提出与证明，基础理论又进一步被延伸，复杂的理论也得以被提出与证明。同时断裂力学在检验结构的强度，可靠性的分析等领域都获得到了广泛的认同，并且提高了工程设计以及制造水平。在断裂力学这门科学的不断研究中，平面断裂力学理论无疑是其中的明珠。平面断裂力学理论相比其他方向的研究发展更加迅速也更加成熟，在建立了完整理论基础的前提下，还提出了各种数值求解方法，进而可以对各种处于平面状态下的断裂问题进行理论研究和求解。但是随着研究问题越来越复杂、人们需求的不断提高，平面断裂理论在实际应用方面仍然具有比较大的局限性。
1.2 断裂力学研究现状
在力学漫长的发展进程中，一开始建立的是我们耳熟能详的经典基础理论：理论力学和材料力学。紧接着在材料力学的基础上经过长期实践进一步发展形成了理论体系更加完善的学科：弹性力学。与此同时弹性力学作为基础理论为后续的力学理论体系的进一步完善奠定了理论基础。在理论力学、材料力学等基础理论逐步建立起来后，还有很大一部分情况没有得到比较合理的阐释，比如管道受压爆炸、容器受压破裂以及飞机和轮船突然断裂发生破坏等。研究人员在深入探究这些现象背后的原因时发现：导致断裂的根本原因不是人们预想的因为荷载超过极限强度造成的构件断裂，刚好相反，大部分物件在破坏时承受的荷载远远低于设计的荷载极限。这完全颠覆了当时人们的认知。同时，研究人员发现制作工艺（如焊接工艺）过程中会不可避免的造成构件表面出现一些细微的小裂纹，这些裂纹会很大程度上影响结构的稳定性，是致使物件发生破坏的主要因素。因此，研究人员对这些含裂纹的结构进行了进一步的探究，提出了一种理论，即这些因缺陷产生的裂纹才是一连串断裂重大事件接连发生的根本缘由。因此可以说，断裂力学的发展见证着研究人员对知识的不断探索，同样的，研究人员也不断地完善着断裂力学的基础理论。
断裂力学从20世纪前半世纪开始逐渐发展，1913年，Inglis[4]通过研究带有椭圆孔的平板模型，首次在椭圆孔平板模型的长轴端部观测到应力集中现象。这一突破性的发现为后续进一步研究提供了尤为重要的理论支撑点，给人们研究断裂力学提供了全新的方向。如Griffith[5]提出的裂纹能力守恒定律和Irwin[6,7]提出的一连串理论都是根据Inglis的成果进一步研究得出的。在以往的理论研究成果中，应力强度因子是断裂力学重要的断裂参数，同时也是材料力学断裂研究极其重要的标准衡量参数，在学术界以及工程界都得到了相当广泛的认同和应用。同时，除了应力强度因子以外，应变能释放率也常常作为断裂力学的断裂参数，但在线弹性允许的范畴里，与应力强度因子是完全等价的[8]。直到目前为止，在现阶段断裂问题的研究方向中，毫无疑问对于裂纹尖端处的应力强度因子的求解研究是最重要的。
2 含裂纹热传导问题的辛求解体系
2.2 含裂纹稳态热传导的辛求解体系
在热环境下裂纹的分类，常常根据瞬态和稳态以及二维和三维问题将热环境下裂纹问题分为以下几类：二维瞬态裂纹、二维稳态裂纹；三维瞬态裂纹、三维稳态裂纹。本文探究的是含裂纹平面稳态热传导问题。
2.2.1 辛本征解
3.4 数值算例
为了对比参考，我们利用ANSYS有限元软件求解了当前问题，这里将37个出口节点数得到的热流场和温度场回代到辛本征方程中求解得到的展开项系数结果当作参考解，因为根据已有的研究33个出口节点对于热传导问题是已经足够精确的[69]。
首先考察奇异元节点数目的选取对计算结果的影响。对于当前问题，取奇异元的半径为R=0.05m，而使用不同出口节点数目的辛解析奇异元得到的热流强度因子的具体结果及相对误差见表3.1。从表3.1中，可以看出：所获得解具有比较高的求解精度。
3 含裂纹稳态热传导问题的辛解析奇异单元 .......................... 18
3.1 引言 ......................................... 18
3.2 稳态热传导的辛解析奇异单元 ....................... 18
3.3 断裂参数 ................................. 23
3.4 数值算例 ................................... 23
3.5 小结 ............................... 40
结论与展望 .................................. 41
3 含裂纹稳态热传导问题的辛解析奇异单元
3.2 稳态热传导的辛解析奇异单元
上章建立了含裂纹热传导平面问题的辛求解体系，并给出了辛本征解和特解，这节将利用这些辛本征解和特解构造一类用于分析含裂纹热传导问题的辛解析奇异单元。
对于含裂纹热传导问题，这里以裂纹尖端为圆心，选取一个半径为R的圆形奇异单元，建立如图3.1所示的坐标系。在裂纹尖端区域使用奇异单元，其他区域则利用常规元。假设在奇异单元内有N个节点均匀分布在圆周上，每个节点有一个自由度。奇异元就通过圆周上的这N个节点与常规元连接。在裂纹尖端附近，热流是奇异的，一般的形函数不能准确描述这种特性。在所提出的奇异单元内，温度场和热流场都是根据辛本征解确定的。
结论与展望
结论：本文针对含裂纹热传导问题，提出了一种有效的辛解析奇异单元。首先，根据辛对偶体系和变分原理推导出了由于裂纹面受到热流密度影响的解析特解，然后根据已经求得的辛本征解和特解构造出一种含裂纹热传导问题分析的辛解析奇异元，这种单元能够求解出该问题下的温度场和热流场分布，从而可以获得比较准确的裂纹尖端周边的温度场分布。最后将本文提出的辛解析奇异元与常规单元相结合用于含裂纹热传导问题的数值分析。数值算例结果表明：（1）当奇异单元的出口节点数大于25时就能保证其求解的精度。（2）本文方法对奇异单元半径的大小以及网格疏密不敏感，在很大的范围内都是有效的。本文的工作说明，本文构建的辛解析奇异元在分析含裂纹热传导平面问题时有良好的适应性。
展望：本文初步开展了含裂纹热传导平面问题数值模拟研究，还有很多工作需要更加深入的探索和研究。如，（1）本文研究的是单材料含裂纹热传导平面问题，后续可以考虑把本文方法推广到多材料含裂纹热传导裂纹问题；（2）本文只研究了稳态下的热传导，而未考虑在瞬态情况的热传导相关问题，可以将本文方法推广到瞬态热传导平面裂纹问题；（3）本文只研究了静态下的裂纹这一种情形，没有考虑到裂纹扩展以后的情况，例如裂纹不断受热情形下导致的疲劳扩展，这时裂纹在每一次扩展以后都会导致网格的重新划分增加计算量，这类问题值得进一步讨论。
参考文献（略）
