本文是一篇数学教学论文，本文通过对学生进行问卷调查和访谈，以及对教师进行访谈，了解学生学习平面解析几何对称性的现状，得出的主要结论有：(1)学生对平面解析几何对称性内容的认识浅显，缺少对对称性思想和方法层面的认识。(2)在教学中大部分教师关注的是知识点的机械记忆和题型的训练，缺乏对对称性的美学教育，而学生也很少关注到这一特征所体现的数学美。(3)学生对直线方程的对称性知识缺乏系统的认识，相同题型之间不会转化，在轴对称问题的解题思路和计算上存在很大问题。(4)学生对圆锥曲线自身对称问题和两图形之间的对称难以区分，而且在曲线对称性问题向点对称问题的转化上也存在问题。针对这些调查结果，本文也提出了相关教学建议，主要包括：(1)加强学生对平面解析几何对称性的美学教育。(2)加强学生对平面解析几何对称性内容的理解，建立起完整的知识框架。(3)提高学生的解题能力，不仅要帮助学生学会解题，还要让学生在解题的过程中概括和领会解题思想和方法，让学生建构起自己的知识框架。最后，本文根据以上的教学现状和教学建议设计了直线方程和圆的轴对称教学设计，希望为相关教学研究提供参考。
第 1 章 绪论
1.1 问题的提出
平面解析几何在高中数学中占有重要的地位，平面解析几何的对称性问题也是高考考查的重点。平面解析几何体现了数形结合的思想，即用代数方法研究图形的几何性质。对称性体现了数学的形式美，它可以使学生在感受数学美的过程中培养数学学习的兴趣，加深对数学的理解，提高学生的数学思维能力和应用能力。平面解析几何中圆、椭圆、双曲线、抛物线图象对称性的学习有助于培养学生的数学美感和兴趣，但在实际教学中发现，大部分教师关注的多是知识点的机械记忆和题型的训练，缺乏对对称性的美学教育，而学生也很少关注到这一特征所体现的数学美。同时，这一内容的学习对于大部分学生来说存在很大的困难，一方面，学生很难把握对称性问题的本质，仅仅靠死记硬背解题程序是很难灵活应用和解答问题的，另一方面，很多学生对平面解析几何的对称性问题没有建立起完整的知识结构，对于其中几种的对称性问题不能清晰区分，难以实现问题之间的转化。面对这样的现状，本文将通过调查研究平面解析几何对称性的教与学，了解这一内容的教学现状，分析教师在教学中和学生在学习中存在的问题，来寻找一个合理的方案进行完善，为以后的教学和学习提供一定的帮助。
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1.2 研究的目的和意义
1.2.1 研究的目的
平面解析几何作为中学数学一部分内容以来，关于对称性考查常常在试题中出现，但学生对这一部分内容的学习和解题上总是存在一定的困难。所以，本文的研究目的主要为以下 3 条：
1. 通过问卷调查和访谈了解平面解析几何对称性内容及美学教育的教学情况；
2. 分析教师教学和学生学习平面解析几何对称性时存在的问题；
3. 针对教学中存在的问题提出教学建议并设计合理的教学方案。
1.2.2 研究的意义
本研究的意义主要分为教师和学生两个方面，首先在教师方面，本研究可以使教师清楚地了解平面解析几何对称性教学的现状以及教学过程中存在的问题，通过对理论知识的学习和实践，设计有效的教学方案，从而提高教学效率，使学生能够深刻理解和掌握平面解析几何对称性内容的本质，建立起完整的知识结构，正确而灵活地用它解决数学问题。其次在学生方面，本研究也可以帮助学生了解自己在学习平面解析几何对称性时存在的问题，并了解这部分知识所体现的数学思想，从几何的对称中发现数学美，并能在学习的过程中掌握各种题型的实质，达到举一反三、触类旁通，从而提高学习效率。
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第 2 章 对称性问题的相关概念与理论概述
2.1 相关概念
2.1.1 平面解析几何
平面解析几何是指通过平面直角坐标系来建立点与实数对、曲线与方程之间的对应关系。方程就是指在平面直角坐标系中找到直线或曲线上所有点的横、纵坐标之间满足的一个等量关系；同样，已知直线或曲线的方程，也可以在平面直角坐标系下，画出它们所对应的图象。
人教 B 版高中数学课程中平面解析几何内容包括：必修 2 第二章《直线与方程》、《圆与方程》、选修 1-1 圆锥曲线与方程（文科）、选修 2-1 圆锥曲线与方程（理科）、选修 4-4 坐标系与参数方程。《直线与方程》和《圆与方程》是以初中几何知识为基础，加入直角坐标系，初步让学生体验什么是平面解析几何以及平面解析几何的重要作用和基本思想，《圆锥曲线与方程》及《坐标系与参数方程》则是对平面解析几何的进一步研究和补充。它们以螺旋上升的方式呈现在高中的各个阶段。
2.1.2 对称性
早在公元前 5 世纪，古希腊雕塑家波利克莱托斯就提到“对称”一词，它被用于形容雕塑中的理想比例关系。德国杰出的数学家赫尔曼·外尔在他的著作《对称性》中指出“对称性”一词包含两种含义，第一是指非常匀称和协调，即整体的和谐性，如雕塑作品通过对称体现出来的和谐美；第二种含义不同于第一种模糊的对称观念，它是指很严格和绝对精确的几何概念。毕达哥拉斯学派认为，平面中的圆周、空间中的球面是最完美的几何图形，因为它们有着完美的转动对称性①。波利亚在他的《怎样解题》中也谈到了对称性有两种含义，一种是数学中常用的中心对称和轴对称；另一种则是不太常用的、一般的逻辑意义，例如人体的对称，雕塑的对称等②。
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2.2 理论基础
了解和学习一些关于认知、教学和课程方面的理论可以帮助我们更好的认识到高中平面解析几何对称性教学中的问题，并为后面的教学策略与教学设计提供理论支持。
2.2.1 认知理论
2.2.1.1 皮亚杰的认知结构理论
皮亚杰是当代著名的教育家和心理学家，他的认知发展阶段理论对教育的发展起到了重要的推动作用。他将认知分为四个阶段分别为：感知运算阶段、前运算阶段、具体运算阶段、形式运算阶段。根据年龄阶段的划分来判断人的认知发展水平，这对于教学具有重要的指导意义。而且，皮亚杰对于认知结构的形成也具有独特的见解。
首先，他认为认知结构是学习者在大脑中对某类信息的全部内容的组织；认知结构主要是通过新的信息、材料和旧的信息、经验融合而成。
其次，皮亚杰认为，新旧信息和材料、经验的融合是以图式、同化、顺应和平衡的方式实现的。图式指的是学习者原有的认知结构；当新的信息和刺激出现时，学习者就会根据自己原有认知结构中的信息和材料，作出相应的反应，当旧信息与新信息相一致时，原有认知结构就会自觉的容纳新的信息，这就是同化；如果旧的信息和经验与新信息相矛盾，原有的认知结构就会进行重组和改变，这就是顺应；最终使得学习者对于新旧信息得到平衡，这样学习者会不断建构出新的图式。
最后，他认为学习过程就是认知结构的不断重组和变化①。
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第 3 章 对称性问题的内容分析 ................................. 13
3.1 平面解析几何图形自身的对称性 ......................... 13
3.1.1 圆自身的对称性 .................................. 14
3.1.2 椭圆自身的对称性 ................................ 14
第 4 章 对称性问题的教学现状研究 ............................. 25
4.1 调查对象 ............................. 25
4.2 调查目的 ........................ 25
4.3 调查方法 ............................. 25
第 5 章 对称性问题的教学设计与实施 ........................... 33
5.1 教学设计 ............................ 33
5.2 教学实施 ........................ 39
5.3 教学评价 ......................... 45
第 5 章 对称性问题的教学设计与实施
5.1 教学设计
一、教学内容分析
本节课属于高中数学人教版 B 版教材必修二第二章平面解析几何初步中直线方程和圆的对称性问题。本节课主要为解题教学课，通过对关于特殊直线的轴对称内容复习总结，要求学生熟练掌握关于特殊直线的对称问题，并通过特殊到一般的思路，分析、归纳出直线方程一般的轴对称问题，再灵活应用到圆的轴对称问题上。本节课内容的学习，不仅可以帮助学生进一步深化对直线方程和圆方程的理解和掌握，还可以帮助学生建立解决点、直线及曲线关于直线对称问题的知识结构，培养学生分析问题和转化问题的能力，因而本节课内容有着非常重要的意义。
二、学生学情分析
我校为呼和浩特地区一所普通中学，生源属于中等水平，通过平时的课上课下交流，了解到大部分学生的基础能力和技能属于中等情况，缺乏自主学习和探究问题的精神。为了更好地了解教学效果，我们设计了一组试题在课前和课后对同一批学生进行了测试，并进行对比。以下是选取了几位学生的试卷进行了分析，学生所表现出的问题主要有：对点关于线的对称问题和直线、曲线关于线对称的问题理解和掌握的情况都较差；对平面解析几何轴对称问题缺乏系统和深刻的认识；学生的运算能力和问题转化能力还很薄弱。
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结语
平面解析几何内容在高中数学学习中占有十分重要的位置，具体内容主要包括：直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线。其中圆、椭圆、双曲线和抛物线图象更是体现了数学中的对称美，对学生培养
