本文是一篇土木工程论文，本文通过把基于对角缩放的预处理引入到光滑数值流形法和标准数值流形法中，解决了二维弹性力学问题中非匹配网格划分问题域时小切割单元导致的病态问题。
第一章 绪论
1.1 研究背景
工程和科学中的许多物理现象都可以用偏微分方程来描述，但是很多复杂的偏微分方程无法用经典解析方法求解[1]。众多学者开始探索一些数值计算方法来得到偏微分方程的近似解，并将数值模拟广泛应用于实际工程中。数值模拟可以用较低的成本，通过计算机建模计算找到工程设计、建设和使用中可能存在的问题，高效地完成结构的安全评估。其中，有限元法（finite element method, FEM）是一种非常重要的方法，该方法通过在问题域上布置规则或不规则的网格将连续的问题离散化，得到问题的近似解。有限元法的应用非常广泛，例如，应力分析、流体力学、传热分析和电磁学等领域。
然而，实际工程中仍然存在很多有限元法难以解决的问题。一方面，一些建筑或者工程结构比较复杂，如超高层建筑、桥梁等。在这些工程问题中，需要对建筑结构的安全性进行大量计算与评估。另一方面，工程建设的地质环境条件比较复杂，如隧道、大坝、基坑工程和边坡治理工程等。岩体是采矿、水利和隧道等工程中最普遍的施工对象之一。由于岩体长期受到复杂的地质构造作用，天然岩体的结构复杂多变，节理发育程度高，裂隙和裂缝分布广泛，这些复杂的地质构造是影响岩体强度和变形的重要因素。这些问题的边界通常比较复杂，有限元法需要用网格来适应边界，容易出现网格布置困难，计算量大，效率低的问题，这导致有限元法在实际工程中的应用面临着巨大的挑战。
因此，众多学者不断提出新的功能更加强大的数值方法来进行复杂工程问题的建模计算。其中，石根华博士[2]于1991年提出了数值流形法（numerical manifold method, NMM），该方法能够在统一的框架下处理连续和不连续问题。三十多年来，数值流形法在岩土力学领域得到了广泛的应用。此外，在有限元法基础上改进得到的光滑有限元法具有较好的收敛性和精度，还可以缓解体积自锁效应。学者们开始将应变光滑与数值流形法相结合，提出了光滑数值流形法。这使得数值流形法可以利用不同类型的应变光滑的优势来改善其性能，提高精度、收敛性和稳定性，缓解体积自锁效应，以及获得数值算例的上限解。
1.2 光滑有限元法的研究现状
应变光滑技术是Chen等[4]最早在无网格法中提出的，该技术被用于稳定节点积分，Liu[5]将应变光滑技术拓展为允许使用不连续函数的广义梯度光滑技术。然后，Liu[6]及其团队将应变光滑与有限元法相结合，提出了光滑有限元法（smoothed finite element method, S-FEM），该方法可以缓解有限元法刚度矩阵过硬的问题，有效地改善了有限元法的性能。
光滑有限元法的核心思想是在相容应变场的基础上修改或重新构建应变场，运用光滑应变函数和散度定理，将二维问题中复杂的积分运算简化为线积分运算。该方法对单元形状无限制，并且无需进行等参变换，从而解决了有限元网格的畸变、剪切自锁等问题[6]。根据光滑域构造方法的不同，光滑有限元法通常可分为基于单元的光滑有限元法[7]（Cell-based smoothed FEM, CS-FEM）、基于节点的光滑有限元法[8]（Node-based smoothed FEM, NS-FEM）、基于边的光滑有限元法[9]（Edge-based smoothed FEM, ES-FEM）、基于面的光滑有限元法[10, 11]（Face-based smoothed FEM, FS-FEM）和α有限元法（Alpha FEM, αFEM）。由于构建光滑域的方式不同，不同类型的光滑有限元法之间性能也有差异。
CS-FEM是在每个有限元单元的内部形成光滑域，一个有限元单元可以划分一个或多个光滑域，其构建光滑域的方法简单方便。在NS-FEM中，光滑域是根据有限元网格的每个节点形成的，每个光滑域边界由节点相关联的单元的形心和单元边的中点依次连线形成。NS-FEM的显著优势是可以得到问题的上限解，刚度矩阵较软，可以极大地缓解体积自锁效应。αFEM是用比例因子[0,1]将FEM和NS-FEM结合起来的方法。ES-FEM的光滑域是基于有限元单元的边构建的，将一条边的两个端点连接到相邻两个单元的形心来形成一个光滑域。
第二章 数值流形法和预处理的基本理论
2.2 数值流形法
2.2.1 两套覆盖系统和流形单元
数值流形法利用数学覆盖上的权函数和物理覆盖上的自由度，实现了连续和不连续分析的统一，该方法可以很好地模拟裂纹扩展、节理、多场耦合、大变形和大位移等问题。《数值流形法》[51]总结到：“‘切割’和‘升阶’是数值流形法区别于其他基于单位分解的数值方法最本质的特征。‘切割’是指物理覆盖是由数学覆盖切割而成的，它是数值流形法反映不连续和运动边界问题的基础；‘升阶’是指每个物理片有自己完全独立的局部逼近，局部逼近可以是任意常数、多项式或任何能反映解在物理片上局部行为的渐进表示。”
数值流形法使用一系列单连通区域覆盖问题域，这些区域被称为数学片，所有的数学片的并集构成数学覆盖。数学覆盖不需要与问题域匹配，即不需要考虑问题域边界、材料界面和强不连续性等具体的结构细节。一个数学片可以部分位于问题域外，也可以覆盖多种材料。需要注意的是，数学覆盖需要完全覆盖问题域，不能留有空隙，问题域中的任意一点都至少被一个数学片包含。通常，数学覆盖由有限元网格构成，也被称为数学网格。为了方便计算，使用均匀有限元网格作为本文的数学覆盖。每个数学片都与一个节点相关联，称为数学节点。数学网格中的单元称为数学单元，每个数学片都是所有共享同一个数学节点的数学单元的集合。
为了反映问题域的边界和各种不连续面等具体细节，部分数学片可能会被问题域边界或材料的不连续界面切割成几个连接的区域，其中包含在问题域内的区域需保留，在问题域之外的区域需舍弃。一个物理片只能覆盖一种材料，被切割后的数学片在问题域内的每个区域都称为一个物理片。如果数学片中含有不连续界面，但没有被不连续界面切断时，该数学片就只形成一个物理片。所有物理片的集合形成物理覆盖，也可称为物理网格，物理覆盖精确地覆盖问题域。形成物理片的切割过程是精确的，不像有限元法是用网格来适应问题域边界或不连续界面，这个过程使数值流形法能够很自然地模拟不连续问题，这是数值流形法的优势和特点。在本文的算例中，一个物理片的边界可能存在三种类型：原数学片的边界、问题域边界和材料界面。
2.3 模型问题的强形式和弱形式
在数值流形法中，如果在布置数学覆盖时采用均匀有限元网格，可以方便地在计算中利用有限元法的相关理论。但是，这样的网格通常难以和裂纹、孔洞等复杂区域相匹配。在非匹配网格情况下，不能简单地使用配点法来施加本质边界条件，可以使用的方法有罚函数法、拉格朗日乘子法、增广拉格朗日乘子法和Nitsche法等[100]。其中，Nitsche法是一种放松形式的Galerkin提法，该方法具有变分一致的单场公式、正定的刚度矩阵和最优的收敛性[107]。本文采用Nitsche法来施加位移边界条件。
目前，一些学者注意到，在非匹配网格方法中，极小切割比会导致系数矩阵条件数过大，严重影响线性代数方程组的计算稳定性和迭代求解效率。系数矩阵病态[47]主要是由于网格中极小切割单元积分区域很小，这些单元相关的系数矩阵元素远小于正常单元相关的系数矩阵元素。在数值模拟中应当尽量避免网格中出现小切割单元。但是，对于数值流形法或者光滑数值流形法来说，通常需要在问题域中布置非匹配网格，这样，网格中可能存在一些切割比极小的单元，这些小切割单元会对系数矩阵的条件数造成较大的影响。因此，为了解决小切割单元导致的病态问题，本文采用一种对系数矩阵进行对角缩放的方法来降低条件数，简称为预处理。
第三章 基于物理片的光滑数值流形法 ................. 23
3.1 引言 .................................. 23
3.2 基于物理片的光滑数值流形法 ............................ 23
第四章 基于边的光滑数值流形法 ........................ 46
4.1 引言 ......................... 46
4.2 基于边的光滑数值流形法 .......................... 46
第五章 结论与展望 .................... 61
5.1 结论 ................................ 61
5.2 展望 .................................... 62
第四章 基于边的光滑数值流形法
4.2 基于边的光滑数值流形法
与传统有限元法相比，基于边的光滑有限元法的主要优势[11]如下：（1）系数矩阵刚度适中，处于“过刚性”的有限元法和“过柔性”的基于节点的光滑有限元法之间；（2）具有超收敛性和高精度，尤其是基于三角形网格的基于边的光滑有限元法，该方法的计算精度远高于基于三角形网格的有限元法，甚至可以高于基于四边形网格的有限元法；（3）稳定性好，适用于振动分析，如固体的静态振动、自由振动和强迫振动等。
基于边的光滑有限元的光滑域是以有限元单元的形心和节点构建的。首先，找到各个单元的形心。其次，将形心与节点连线，将单元划分为几个子单元。最后，共用一条边的子单元组合形成一个光滑
