第五章 结论与展望
5.1 结论
本文通过把基于对角缩放的预处理引入到光滑数值流形法和标准数值流形法中，解决了二维弹性力学问题中非匹配网格划分问题域时小切割单元导致的病态问题。文中的算例使用Matlab软件进行编程计算。在程序中计算这些数值算例时，通过给网格设置不同的单元尺寸和位置，使问题域边界或材料界面上出现小切割单元，再使用预处理对系数矩阵进行对角缩放。每个算例都分别使用四边形单元和三角形单元进行网格布置。第三章和第四章分别讨论了基于物理片的光滑数值流形法和基于边的光滑数值流形法的计算结果，比较了数值算例中网格尺寸和最小切割比对系数矩阵条件数和误差范数的影响。主要结论如下：
（1）在网格中出现极小切割比的情况下，对角缩放预处理是一种有效降低系数矩阵条件数的方法。经预处理后的条件数保持在较小的范围内且受最小切割比的影响很小。预处理有效地降低了线性代数方程组的求解难度，提升了程序的计算稳定性和迭代求解效率。
（2）在预处理前，对于相同形状的网格来说，光滑数值流形法和标准数值流形法得到的系数矩阵条件数非常接近。网格的形状对系数矩阵条件数影响很大，基于四边形网格得到的条件数约为基于三角形网格得到的条件数的两倍。经过预处理后，基于三角形网格和基于四边形网格得到的条件数都显著降低，且数值相近，网格形状对条件数的影响可以忽略。
（3）对于三角形网格来说，基于边的光滑数值流形法的精度最高，位移误差的L2范数和能量范数最小。基于物理片的光滑数值流形法的精度位于基于边的光滑数值流形法和标准数值流形法之间。对于四边形网格来说，基于边的光滑数值流形法的精度比标准数值流形法略高，但是优势不如三角形网格明显，与三角形网格不同的是，基于物理片的光滑数值流形法的精度最差。
参考文献（略）
