第一章引言1.1背景在控制理论中，系统的稳定性和可控性是两个重要且基本的内容。稳定性是系统能否正常工作的先决条件，因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题，一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状态是否稳定。系统的稳定性，表示系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，而在扰动消失后，系统仍有能力恢复到原来的平衡状态的一种“顽性”。脉冲系统是一种源于现实生活，非常典型的动态系统，涉足各种不同的实际应用中，如昆虫数量控制系统、财政系统和化学反应系统等，其中的脉冲是造成系统不稳定的重要因素，而稳定性对于系统的应用很重要。因此研究脉冲系统的稳定性就显得十分必要。例如脉冲系统:f(t,x=l}(x，t护t},，t=t};,kEN(1.1.1)、、卫月2、、lj甲丝dt八了..少、..飞、但若脉冲系统有扰动项，例如:dxdt一f(t，二)+、(‘，x),‘尹‘“Ox=jk(x)，t=t},kEN(1.1.2)其中9(t,x)就是扰动项，这种情况是很符合实际的，但这个系统的稳定性问题就比较复杂了。可控性和稳定性一样，均是系统的结构性质。系统可控性的概念由Kalman在文献【2]中首先系统地提出来，发展至今已相当成熟，并己建立了一些系统或输出可控性的判据。粗略地讲，可控性是通过一些可行的控制使系统从任意一个初始状态到任意一个最终状态的可能性。文献【4习根据动力系统的不同类别，给出了不同的可控性定义。可控性揭示系统外部特性(输入、输出)与内部特性(状态)之间的关系，是现代控制理论用状态空间描述系统引申出来的重要概念。它不仅是线性系统分析与综合问题研究中必不可少的概念，也是最优控制和最优估计的设计基础。同时在实际问题中如设计系统时检测可控性是重要的一步。到f-,.;前为止，线性时不变系统(例如摇摆系流、经济系统的最优化控制等)的可控性判定的充要条件己系统地提出来了。2,;,前发展的理论和研究方法对线性定常系统，由经典}..，}。j理论可知，可采用劳斯一赫尔维茨代狡判据和奈伞斯特频域判据判断其稳定性，这些方法均基于分析系统特征根在根平面上的分布，不必求解方程，直接由方程的系数或频率特性曲线判断稳定性。此方法仅适用于线性定常系统，不适用于时变或非线性系统。早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫提出了解决稳定性问题的一般理论，即李雅普诺夫稳定性理论。该理论适用于对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。李雅普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法:李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第一法通过求解系统微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。李雅普诺夫第二法通过一个称为李雅普诺夫函数的标量函数来直接判定系统的稳定性。对于脉冲系统的稳定性研究，至今大体上有两种重要的方法。它们都充分利用了李雅普诺夫函数。一种是根据已知条件构造李雅普诺夫函数，利用比较定理，将原来要研究向量系统等价到一个简单的数量系统。这样可以直接在每个脉冲段内对数量系统求解，然后分段讨论并充分利用归纳总结方法分析解随时间发展的变化趋势。文献[[1}21对于固定时间有脉冲的脉冲系统的稳定性提出了保守性较小的一些条件，而且还设计了脉冲控制适用于一类非线性系统。另一种是构造李雅普诺夫函数并直接进行讨论。所构成的Lyapunov函数受限于两个K类函数，在任何时刻都不增，可判定稳定，例如文献【3-5,25,27]。后来在此基础上文献[(6}8]提出只要在任意脉冲段((ti,ti+1)内任意点都小于某个值，即Lyapunov函数沿着某个数列不增，就可判定系统稳定。其中文献〔6]还建立了一系列关于一类脉冲系统的一致稳定性、一致渐进稳定性和指数稳定性的充分条件。有些非线性系统本身没有脉冲，为了方便研究加入脉冲控制使其在某些时间点上不连续，例如文献[18,20]和[24]等。他们提出各种方法加入脉冲控制，利用脉冲系统己有的一些结果来处理这样的混合系统。时滞系统的稳定性研究目前最重要的方法就是利用Lyapunov-Krasovskii泛函(简记L-K泛函)。时滞系统各不相同，对应L-K泛函的构造也会有所区别，给出的条件保守性也不同。选择一个恰当的Lyapunov-Krasovskii泛函就显得很重要。f}l讨论的是一个含非线性项的时滞系统。文章构造了一个较简单的Lyapunov函数:Y(x(t))二xT(t)Px(t)其中P是代数Riccati方程的正定解，通过讨论这个函数的导数，限定非线性项的范围，给出了保守性较小且不依赖时滞的使系统大范围渐进稳定的充分条件。[10]研究的是一个含多个固定时滞的系统，具体展示了构造一个能使系统鲁棒稳定的较完整的含二次积分项的L-K泛函的具体过程，并给出了解关于基解矩阵的表达式。理论上推导这样
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