【摘要】帮写岩土工程论文非饱和土的渗透系数是分析水分和物质迁移的重要参数,直接测量非饱和土渗透系数的代价较高,且直接测量的精度较差,因此间接估算非饱和土渗透系数成为很好的选择。分形理论适合用来描述多孔介质的结构和透水性。本文建立了土体孔隙分布的分形模型,导出用分维和进气值表示的水分特征曲线和渗透系数的理论表达式。与实验结果的比较表明,用分形模型计算得到的水分特征曲线和渗透系数与试验结果一致。
【关键词】渗透系数;非饱和土;分形;分维;水分特征曲线;孔隙分布;分形模型
非饱和土的渗透系数是石油工程和环境工程中分析水、油和污染物迁移必不可少的重要参数。非饱和土渗透系数的试验测量结果表明,不同土样在不同的含水量时的渗透系数差别较大。即使在近饱和状态下(吸力介于0~1kPa)吸力的微小变化也能引起渗透系数改变1~3个量级[1]。由于非饱和土渗透系数对饱和度的依赖性大,造成测量的困难,特别是在低饱和度时,非饱和土渗透系数测量很费时间。一般情况下,用实验方法测量非饱和土的渗透系数不太现实。经验公式和理论预测成为确定非饱和土渗透系数的不可回避的选择。土体中水分运移与其孔隙结构密切相关,土体的孔隙是各向等性的,且可以视为均匀分布。分形理论很适合表示土体的结构性状[2,3]。徐永福和孙德安用分形理论表示了土体的孔隙分布,并建立了孔隙分布分维与非饱和土体导水系数间的相互关系[2]。本文根据土体孔隙分布的分形模型,导出了非饱和土的水分特征曲线和非饱和土渗透系数的理论表达式,并将理论表达式与已有的非饱和土的水分特征曲线和非饱和土渗透系数进行比较,验证本文提出的理论公式。
1 土体孔隙分布的分形模型
分形可以用来表示非饱和土的孔隙结构[2]。分形孔隙结构可以通过以下方法生成:假定一个立方块体的边长为单位长度1,被分成1/(r)3个边长为r的次一级的小立方块体,从中拿走N个次一级的小立方块;将剩下的1/(r)3-N个次一级小立方块再分成1/(r)3个边长为r2的次二级立方块体,从中拿走N[1/(r)3-N]个次二级的小立方块,如此重复下去,直到孔隙的孔径为无穷小,这样就形成一个分形分布的孔隙结构。根据分形理论,孔隙的孔径与其对应的个数有下面的关系[3]
N=Cr-D(1)
式中:C为常数;r为孔径;D为孔隙分布的分维。
孔隙的体积VP由VP=∫r0(4πr3/3)dN算出,
即Vp=Ar3-D(2)
式中:A=4πCD/3(3-D)。
土体的孔隙体积与孔径间相互关系可以用水银压入法测出来,如果孔隙体积与孔径在双对数坐标上回归线的斜率是κ,那么土体孔隙分布的斜率为
D= 3-κ(3)
为了与土体孔隙体积联系起来,非饱和土的含水量采用体积含水量。体积含水量是土体中孔隙水的体积与土体体积的比值,土体中孔隙水的体积可以用土体孔隙体积表示。根据式(2),介于孔径r→r+dr中孔隙水体积可以表示为
dΛ=4πr23dN(4)
式中:Λ=θ-θr,是相对体积含水量;θ和θr分别是体积含水量和残余体积含水量。残余体积含水量是土体中被土粒吸附的水分占孔隙水的百分含量。
由式(4)可以得到非饱和土的相对含水量和饱和土的相对含水量,分别表示为
Λ=Ar3-D;Λs=AR3-D(5)
式中:R是土体中孔隙的最大孔径。
非饱和土的水分分布往往是先充填在孔径小的孔隙中,随着饱和度增大,水分渐渐地向大孔隙中移动,当最大孔径的孔隙中充满水时,土体基本饱和,此时的吸力为非饱和土的进气值,非饱和土的进气值是土体孔隙中开始出现气泡时的吸力,与土体孔隙的最大半径有关。根据Young_Laplace公式得到非饱和土的吸力和进气值与孔径的关系
ψ=2σcosαr;ψe=2σcosαR(6)
式中:ψ和ψe分别是非饱和土的吸力和进气值;σ是表面张力;α是接触角。
将式(6)代入式(5),得到非饱和土的水分特征曲线为
Se=ψψeδ;δ=D-3 (7)
式中:Se=(θ-θr)/(θs-θr),是非饱和土的有效饱和度,有效饱和度表示非饱和土孔隙中能流动的水分与饱和土孔隙中能流动的水分的比值;θs为饱和土的体积含水量,其值等于土体的孔隙率。式(7)是由土体孔隙分布的分形模型导出的水分特征曲线的表达式,参数δ可以由孔隙分布的分维算出。
2 非饱和土的渗透系数
非饱和土中的水流同样符合Darcy定律,非饱和土体中的流速为[4]
-V=-r2gcνdhdx(8)
式中:-V是孔隙中的平均流速;r是孔径;g是重力加速度;ν是粘滞系数;c是与孔隙几何形状有关的常数;h是水头高度。
假定有沿x方向上的长度为Δx的孔隙,在x处的孔径为r1→r1+dr1,在x+dx处的孔径为r2→r2+dr2,那么单位时间内通过这个孔隙的流量q为[5]
dq=βr2e(r1,r2,ρ)Ae(r1,r2,ρ)dhdxdr1dr2(9)式中:β是与孔隙介质有关的常数;re(r1,r2,ρ)是孔隙的有效孔径,是指可以让水通过的孔隙半径;Ae(r1,r2,ρ)是孔隙的有效截面积,是实际水流的面积;ρ是在有效饱和度Se时充满水的孔隙的最大孔径。
根据Darcy定律,非饱和土的渗透系数k(Se)为
k(Se) =qdh/dx=β∫ρ0∫ρ0r2e(r1,r2,ρ)Ae(r1,r2,ρ)dr1dr2(10)
非饱和土的相对饱和度kr(=k(Se)/ks,ks是饱和土的渗透系数)可以写为
kr=∫ρ0∫ρ0r2e(r1,r2,ρ)Ae(r1,r2,ρ)dr1dr2∫R0∫R0r2e(r1,r2,ρ)Ae(r1,r2,ρ)dr1dr2(11)
假定孔隙在土体中是均匀和随机地分布,孔隙的有效截面积表示为
Ae(r1,r2)dr1dr2=f(r1)f(r2)dr1dr2(12)
这里f(r)是孔隙分布函数。
孔隙的有效孔径为[5]
re=r∫ρ0∫ρ0Ae(r1,r2)dr1dr2∫R0f(r1)dr112=rΛ1/2(13)
将式(6~7)、式(12、13)代入式(11),得到用有效饱和度表示的非饱和土的渗透系数的表达式kr=Sλe;λ=3D-11D-3(14)
将式(7)代入式(14),得到用吸力表示的非饱和土的渗透系数的表达式为
kr=ψψeη;η= 3D-11 (15)
式(14)和式(15)是由土体孔隙分布的分形模型导出的非饱和土的渗透系数表达式,式中参数D和ψe具有物理意义,都可以由简单的实验确定。
Watabe等人给出的用水银压入法测出了冰川土的孔隙分布和对应土体的水分特征曲线[6]。试验结果表示在图1中,图1(a)中VT是土体孔隙的总体积,V(<r)是孔隙半径小于r的孔隙累积体积。从图1(a)中可以看到在双对数坐标中冰川土的孔隙体积与孔径呈直线关系,即冰川土的孔隙分布符合分形模型。土样S_02、S_03和S_04的孔隙分布的分维D分别为2•66、2•63和2•51,对应土样的最大孔隙半径分别0•0125mm、0•06mm和0•006mm。水的表面张力σ为0•075kPamm,假定接触角α为0,由Young_Laplace公式(式(6))可以算出与最大孔隙半径对应的进气值,土样S_02、S_03和S_04的进气值ψe分别为12•5kPa、2•5kPa和25kPa。已知孔隙分布的分维和进气值,根据式(7)可以算出非饱和土的水分特征曲线。非饱和冰川土水分特征曲线的计算结果和试验结果对比于图1(b)中,根据式(7)的计算结果与试验结果一致。从图1中可以看出,由孔隙分布得到的参数,即分维和最大孔径对应的进气值与由水分特征曲线回归得到的参数是相等的,因此可以认为非饱和土的孔隙分布与水分特征曲线是等价的。这样为用水分特征曲线确定分维和进气值提供了依据,即在没有测量孔隙分布的情况下,同样可以根据水分特征曲线来确定孔隙分布的分维与进气值。
3 试验验证
Uno等人用空气压入法测出了日本标准砂Toyoura砂的孔隙分布[7],Toyoura砂的孔隙分布表示在图2(a)中,由图2(a),Toyoura砂孔隙分布的分维D为1•67,最大孔隙半径为0•09mm。水的表面张力σ为0•075kPamm,由式(8)可以算出非饱和Toyoura砂的进气值ψe为1•67kPa。根据非饱和Toyoura砂的孔隙分布的分维和进气值可以算出非饱和Toyoura砂的水分特征曲线和渗透系数。
非饱和Toyoura砂的水分特征曲线的计算结果与试验结果对比在图2(b)中,采用图2(a)中的分维和进气值,非饱和Toyoura砂的水分特征曲线的计算结果是由式(7)算出的。Toyoura砂的饱和体积含水量θs和残余体积含水量θr分别为0•425和0。从图2(b)中可以看出非饱和Toyoura砂的水分特征曲线的计算结果与试验结果符合得较好。非饱和Toyoura砂的渗透系数的计算结果与试验结果对比在图2(c)中,采用了图2(a)中的分维,非饱和Toyoura砂渗透系数的计算结果式由式(14)算出的。图2(c)中的对比结果表明,由式(14)得到的计算结果与试验结果一致。图2中的结果表明,由非饱和土孔隙分布的分形模型得到的水分特征曲线与渗透系数的表达式是正确的。
Hanford冰川土的水分特征曲线的实验结果如图3(a)所示[8],从图3(a)中得到Hanford冰川土样0_099和2_1637孔隙分布的分维D分别为2•38和2•18,进气值分别为44kPa和11kPa。将以上参数代入到式(14)可以算出非饱和Hanford冰川土的渗透系数。Hanford冰川土样0_099的饱
