1.1 研究背景与意义
自二十世纪 70 年代以来，人们日常的生产与生活中各项技术水平正不断进步与飞速发展，自动化的开发进程也随之突飞猛进，并由纯粹的用于工业生产制造中的自动化逐步向日常生活的综合自动化方向过渡[1]。与此同时，伴随着计算机技术在科研国防、金融经济、电力交通等社会生产生活各个方面的广泛应用及拓展，在当代社会中，呈现出了越来越多规模庞大、结构复杂的各式网络系统。例如跨区域的大型电力网络、纵横交错的交通网络系统、工业固定的产业链网络、日常人与人交流使用的通讯网络、网上购物派发物品的路线系统以及一系列公共服务设施构成的网络系统等等[1,2]。因此，有关网络系统的控制理论和实践对人类生产与社会生活产生了巨大的影响，控制理论极大的改变了以往人们分析处理上述网络系统的思维，众多领域的专家学者逐渐重视并着手研究控制理论在各自研究方向中的应用与发展，使其成为重要的研究内容[3]。为了研究大型网络系统，首先必须了解什么是系统。系统是指由一些相互关联、相互依赖以及相互制约的若干部分组成并且具有一定功能的一个有机整体，系统的状态可以用描述系统行为特征的变量来表示[1]。一个大系统由若干个部分所构成，组成该系统的各个部分可能是一些个体、元件、零件等，而其本身也可以视为一个子系统。在各个子系统之间，不仅有物质能量的流通，而且有大量的信息流通，并且彼此之间关联复杂[3,4,5,6]。此外，系统具有一定的结构，一个系统是其构成要素的集合并且这些构成要素彼此间存在关联及相互制约。系统内部各个要素之间相对稳定的联系方式、组织秩序及失控关系的内在表现形式，就是系统的结构[1]。系统中各部分进行着不同的任务，为了实现统一协调，就必须对其施加控制以达成预期的目标[1,6]。
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1.2 研究现状
对于网络系统的结构可控性研究已有许多成果。文献[12]中 Lin 首次提出了系统结构可控性的概念，文献[13]将 Lin 的结果引入到多输入的线性系统中，并提出了结构矩阵的一般秩的概念及结构可控性的判据，同时介绍了对结构矩阵进行规范化的具体方法。文献[14]从系统的可达性出发，结合一般秩的判断，提出另一个结构可控性的判据，降低了判秩矩阵的维数。文献[1]在此基础上针对具体的网络模型对网络系统的结构能控性作出分析，利用系统的结构模型，可以达到理清系统内部关系，划分层次的目的。针对结构的研究有助于理解各控制器对网络系统的影响，从而为设计可行的控制方案提供重要的参考[15]。由于大多数大型网络系统分布地域广，导致了集中化的控制方案难以实现，而且系统内部各个组成部分彼此间信息或能量的传递会由于超远距离传输，从而导致信息传递滞后、受到严重的干扰等，给系统控制的有效性和稳定性带来一系列问题[16,17]，因此大系统理论中的分散化概念被广泛应用于此类网络系统的研究中。上文提及的跨区域电力网络以及交通管理网络等都是分散控制的典型。采用分解的方法可以极大减少分析的难度以及计算量。通过将控制分散化，在对整个网络系统实施控制时，利用多个独立的控制器共同来完成，各个控制器相互独立、互不干涉，使得每个控制器各自控制大系统的一部分，从而能够从各个控制器获得局部的易于处理的信息。倘若每个控制器所控制的子系统彼此之间完全没有信息或能量的互相传递，则称为完全分散化，若彼此间存在少量连接通道提供信息交互，则为部分分散化。
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第二章 网络结构可控性及能控性指数
研究网络系统的控制方案时，利用二分图的描述方式，可以将网络系统的控制问题映射到二分图的最大匹配问题上，而根据二分图中所表现出的节点间的关联情况及控制器对节点的影响，可进一步利用结构矩阵作相应描述，从而简化分析过程，进而提出能控性指数。
2.1 二分图在网络控制中的应用
利用二分图的描述方式，通过寻找最大匹配边的方法可以帮助解决很多实际问题如棋盘走法，城市道路巡逻，配对问题等。定义：（1） 匹配：在图论中，一个匹配就是一个边的集合，其中任意两条边都不存在公共顶点。（2） 极大匹配：在当前已经完成的匹配下，无法再通过增加尚未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。（3） 最大匹配：在所有的匹配方式中，包含匹配边数最多的匹配方式即为最大匹配。（4） 完美匹配：若在一个图的某种匹配方式中，任意顶点均为匹配点，即图中的每个顶点均和图中某条边相关联，那么它就是一个完美匹配[22]。显而易见，所有的点均已经匹配，增加一条新的匹配边必定会与已存在的匹配边冲突，因此完美匹配必然为最大匹配。Liu 证明了倘若一个网络系统用二分图表示后能够进行完美匹配，则只需施加唯一一个控制器即可使得该网络系统可控[12,21,22]。然而在实际应用中，显然并不是所有的问题用二分图来描述时都能够进行完美匹配，通常都是求出其最大匹配以保证结果的最优。应用到网络系统的控制中求解最大匹配，可以将尽可能多的节点纳入匹配边中，从而为控制器的选取方案提供依据。目前针对求解二分图最大匹配的算法主要有匈牙利算法和 HK 算法等，算法的基本思想如下，将从一个尚未匹配的点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边,这样形成的路径定义为交替路，算法的核心就是寻找增广路径，增广路径即指从一个未匹配的点出发，通过交替路，如果途经另外一个匹配点，那么这条交替路就被称为增广路径，此外根据从未匹配点出发寻找增广路径的方法又可分为 DFS 增广、BFS增广、多增广路，其中多增广路就是 HK 算法[23]，文献[23]中给出了这些算法的具体描述。
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2.2 网络系统的结构可控性
从结构角度研究网络系统时，通常是将大网络系统中的每个组成单元看作一个节点，进而分析这些节点的连接关系与彼此间产生的影响，具体直观的用结构矩阵表示出来，按照一定的步骤对构造出的系统结构化模型进行一系列不同方向的研究分析，包括按照层次进行划分或者按照空间划分，将一个大型的难以直接研究的网络系统拆分成可供计算分析的各个模块[1,6,39]。通过这样的方式可以方便快捷的解决系统中各个模块的计算问题，将分析整个网络模型转变为分析每个小模块的特性，使得对整个网络系统的分析化繁为简，化多为少，指导大规模网络系统模型的分析和计算[31,35,36,38,40]。网络系统的结构模型有助于我们从宏观上去理解大型网络系统组成部分间的相互关联，认识各个子系统的组成层次及它们之间的联系，从而采取有效的控制措施对大系统实施控制[1,5]。另外，在大系统的管理过程中，可以将众多的直觉信息进行逻辑的划分，从而反映出管理的层次性以及各种信息在其中体现出的地位[1,5,16,41]。因此，对大规模网络系统建模的首要前提就是需要利用一些结构模型对该系统从结构上进行分析，从宏观上表现出了大规模网络系统中各个模块之间的连接关系，对后续结构的分析与计算提供了科学有效的支持。如果一个网络系统是结构不可控的，则无论怎样去改变系统中的各个参数值都不可能实施完整的控制，因此对网络系统结构的研究分析相对于进行具体数值的研究来说更加具有战略意义[1,15,44]。
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第三章 基于结构矩阵的能控性指数研究.......... 22
3.1 能控性指数的范围............. 22
3.2 能控性指数下界的布尔算法....... 23
3.3 基于结构矩阵的能控性指数算法........ 26
3.4 本章小结........ 34
第四章 基于图论的能控性指数算法研究........... 35
4.1 算法sciA ........... 35
4.2 网络系统分析与仿真...........38
4.3 本章小结......... 43
第五章 k 值与控制方案的探讨........ 45
5.1 k 值对控制方案的影响...... 45
5.2 控制方案对 k 值的影响.... 49
5.3 本章小结........ 51
第五章 k 值与控制方案的探讨
在实际应用中，可能并不需要在最短的时间内对整个网络系统实施控制，因此在从结构矩阵和图论角度研究能控性指数的基础上，分析网络系统的控制方案与系统 k 值间的关联。在 k 值明确的基础上，研究控制方案，排除冗余的控制器，实现经济控制。在控制方案确定的基础上，针对实际需求，探讨具体的控制过程。
5.1 k 值对控制方案的影响
大规模网络系统中往往存在着多个控制变量，控制变量的选取同时也存在着多种可能性。为了更加便捷经济的对网络系统实施控制，需要对多个控制变量进行分析，哪些节点的控制作用必不可少而哪些控制节点可有可无[37]。实际过程中，选取尽可能少的必要控制节点可以更快更有效的对网络系统实施控制。文献[1]中结合第三章所述网络系统的结构矩阵一般秩的算法，在其结构矩阵作排列的基础上，具体分析了系统中冗余的控制器，即结构矩阵中哪些列对结构矩阵的一般秩并不产生影响，这些列所对应的控制器就可以略去不计[14]，最终使得选取的控制节点尽可能少的情况下又能够保证对整体网络系统的有效控制，但是最终分析出的结果并不能涵盖所有方案，考虑范围有限。控制器的选取与本文分析的k 值关联紧密，控制器的个数及所控制的节点群在整个网络系统中的位置及与其他节点的关联情况大致确定了k 值的范围，而k的数值反过来也大大影响了控制器的选取。
总结
随着生产的发展和科学技术的进步，在日常生活中出现了以电力网络等为代表的众多大规模网络系统，针对大规模网络系统形成良好的控制效果的重要性不断凸显。为了保证网络系统运行的正常，必须对整个网络系统实施有效稳定的控制，而由于网络规模庞大，内部各个组成部分彼此间关联的复杂性，对分析研究网络系统的性质带来困难，控制效果
