马克思数学手稿：宝贵的历史文献

千年伟人马克思 　　马克思(1818—1883)的伟大贡献，正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说：达尔文发现　了有机界的发展规律，马克思发现了人类历史的发展规律，揭示了经济基础和上层建筑　的相互关系；在对资本主义生产方式的深入研究中，他发现了“剩余价值”，从而获得　了开启社会奥秘的钥匙。[1](P574—575)马克思的《资本论》至今还在许多国家重印发　行，显示出马克思主义的强大生命力。在西方著名大学中普遍设有马克思主义课程。 　　在20世纪与21世纪之交，在告别人类纪元第二个千年，迎接第三个千年到来之际，199　9年，英国剑桥大学文理学院的教授们发起了一个评选“千年第一伟人”活动，征询、　推选和投票的结果是：马克思第一，爱因斯坦第二。随后，英国广播公司(BBC)在国际　互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家，其结果为：马克思第一，爱因　斯坦第二。接着，路透社又邀请各界名人再行评选时，爱因斯坦以一票之多领先于甘地　和马克思。依据这一系列的评选结果，人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列　为千年第一伟人。 　　凡读过马克思的著作，特别是《资本论》的人，都为马克思的学术研究方法及其学术　成就而折服。他对所研究的问题，不但拥有丰富的实际资料，而且占有大量的文献资料　，在理论论述中，不但处处闪耀着深刻的思想火花，尤其渗透着那种一步一步深入进去　的强有力的逻辑力量。北京大学的江泽涵教授是我国著名的前辈数学家，我国拓扑学这　门学科的奠基人，也是马克思《数学手稿》的最主要译者，他读了《资本论》第一卷以　后，深有感慨地说：“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的，《　资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样，都是严密地从逻辑上一步步推理和展　开，真是无懈可击，令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典著作，　展显为一个逻辑严密的理论体系，正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者　们的高度赞赏。 　　　　　　马克思数学手稿的具体内容 　　恩格斯称马克思为“科学巨匠”。他说，马克思研究的科学领域是很多的，而且对任　何一个领域都不是肤浅地研究的，甚至在数学领域也有独到的发现。[1](P574—575) 　　马克思一生酷爱数学，从19世纪40年代起，直到逝世前不久，数十年如一日地利用闲　暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和　述评，以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后，马克思的数学手稿和其他手稿一　起，一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。 　　数学研究紧密结合经济学研究 　　起初，马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如，他在1864　年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算，例如在家庭开支和　商业中，从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出　几条平行线，同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个，在第二行表示几十，　在第三行表示几百，在第四行表示几千，余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用，　直到今天中国人还在使用。至于更大一些的数学计算，则在有这种需要之前古罗马人就　已有乘法表或毕达哥拉斯表，诚然，这种表还很不方便，还很繁琐。因为这种表一部分　是用特殊符号，一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……在作很大的计算时　，旧方法造成不可克服的障碍，这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看　出来。”[2](P650) 　　1864年5月30日，恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书，我钻到　算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不　管怎样好地利用数字例题来说明，我总觉得这里只限于用数字，不如用a + b作简单的　代数说明来得清楚，这是因为用一般的代数式子更为简单明了，而且这里不用一般的代　数式子也是不行的。”[3](P357) 　　马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经　济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式　和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中　他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致　恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余　，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法，　我很快又会计算正确的。”[4](P247)马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经　济学的研究而深感高兴。1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他　说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过　工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到　这样的公式，这对我很有帮助)。”[5](P12) 　　看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给　恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出　这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律(而且现在　我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的)。”[6](P87)在《资本论》中我　们也能看到数学的运用，据拉法格回忆，马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了　能够成功地运用数学时，才算真正发展了。[7](P8)我理解，马克思这里所说的运用数　学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。 　　对微积分的学习、思索和历史考察 　　19世纪60年代以后，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉(J•L　•Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉库阿(S•F•Lacroix)、霍尔(G•Hall)等人各自编　写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思对　这些教科书进行比较，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。于1881年前后　，马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理　等问题的研究草稿，而且对于这些问题都曾写过多遍草稿，例如，关于泰勒定理留下了　八份草稿。 　　马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物，考察它是怎样产生的，产生以后　遇到一些什么困难，经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有　哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的　数学途径得出了正确的(尤其在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了　，对这新发现评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣　，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”[8](　P88) 　　马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(J.L.Lagrange 1736—1813)的发展，约一百多年的发展过程分为三个阶段，分别称为：　“神秘 的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期 ，新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功，但是从旧的传统数学看来，这种新算 法，比如微分过程，正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推 导过程中Δx和dx既作为有限的量，却又消失为零，在逻辑上显示出矛盾；时为 什么能有确定的值，等等，都不能从理论上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的 。牛顿和莱布尼茨，以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明，他们为此付出 了很大的努力。以达朗贝尔(J•L•R•D’Alembert，1717-1783)为代表的“理性的微分 学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”，都是这种努力的一定阶段的成果。马 克思指出：“这里，像在别处一样，给科学撕下神秘的面纱是重要的。”[8](P139) 　　马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难。他认为“理解微分运算时的全部困　难”，“正像理解否定之否定本身”一样，要把“否定”理解为发展的环节，并且要从　量和质的统一看待量的变化。在微分过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间　仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变　为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。马克思说，要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。　”[9](P16) 　　马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例，参照比较了多种教科书，运用上述　观点，选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性，从而说明微分　学的神秘性是可以摆脱的。这样的内容，现在看来固然是很浅显的，也不足以说明一般　函数的微分过程。但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力。 　　马克思曾劝说恩格斯研究微积分。他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我　研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你　一本。我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的。况且，这个数学部门(仅就技术　方面而言)，例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需　要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个