1.1 研究背景及意义
近年来，我国国民经济迅猛发展，各类矿产资源得到大量的开发利用，尤其是作为经济发展支撑的最重要的煤炭资源更是被充分的开采。矿产资源被开采出以后，形成的地下空洞区域称为采空区。然而，在过去的几十年里，受经济利益的驱使，无序开发、私挖滥采现象在全国范围内普遍存在。一些中小型矿山采空区管理不到位，由于专业技术力量薄弱，不按设计施工或无设计施工，矿柱留设不规范，普遍造成采空区重叠、交错等现象，对矿山安全生产造成严重威胁。而且部分矿山企业忽视采空区治理，特别是历史遗留采空区得不到及时有效的充填、治理。据国务院安全生产委员会办公室统计，我国金属非金属地下矿山采空区总量非常大，分布范围广，到 2015 年底，全国金属非金属地下矿山共有采空区 12.8 亿 m3，分布于全国 28 个省（市、区）。这些老窑及采空区无疑给国有大型矿产的安全生产以及其上构筑物的正常使用带来重大隐患。矿产被开采后，其上覆岩层的初始应力平衡会受到破坏，在自身重力的作用下，会有不同程度的塌陷，导致地表下沉，部分采空区会充填积水或有害气体，这极大地威胁了采掘过程中的安全。尽管政府有关部门已经采取相应措施加大整治矿产安全生产力度，但和采空区相关的安全事故仍然屡有发生。2017 年 3 月 28 日凌晨乌鲁木齐市水磨沟区已停产的八道湾煤矿附近一采空区发生塌陷，造成该区域内一警务室 4 人死亡、3 人受伤。2016 年 3 月 23 日，太原同煤集团同生安平煤业公司发生一起重大安全事故，19 名矿工遇难，事故原因为采空区强制放顶时，引起采空区上部大面积突然垮落，形成暴风所致。2015 年 4 月 19 日，同为同煤集团下属的姜家湾煤矿发生一起重大透水事故，造成 21 人遇难，事故原因系工作面上方老采空区积水发生透水征兆时没有及时有效地进行处理，在采煤工作面自开切眼向前推进过程中，顶板垮落，与上部采空区积水导通，涌入采煤工作面和相邻的两个掘进工作面所致。
.........
1.2 国内外研究现状
目前，采空区常用探测方法主要有三类：工程地质测绘、地球物理勘探及工程钻探，以地球物理勘探为主，辅以钻探、地表变形观测等[7]。工程地质测绘主要包括工程地质调查、采矿情况调查、地表变形观测及矿井井下测量等相关的工程测量工作。这种方法主要是通过查阅以前老矿区的图纸和资料，调查走访矿区居民，现场观察地表裂缝、凹陷等情况的方式来粗略获取公路沿线采空区的大致分布范围，建立初步的三维地质结构模型[8]。其主要是在物探方法开展之前进行，为物探、钻探工作缩小目标范围，确定探测工作量，优化探测方案，并为最终的地质解释提供依据。它是采空区探测的基础，在整个过程中的重要性不容忽视。但是在一些荒芜、无资料保存的地区，以及覆盖层较厚、隐蔽性强的采空区，工程地质测绘将难以发挥作用。钻探是最直接、最可靠的采空区探测方法，相比工程地质测绘精度要高得多，它能准确的确定采空区的空间分布特征和岩土力学参数，所以得到了广泛采用。但由于钻孔数量和探测的范围有限，钻探得出的是多个点处的地质结构情况，不能确定采空区边界范围，以此来代表其所在整个断面的地质结构有失严谨。而且钻探的速度慢、费用高，在实际勘察工作中，常用来验证地质测绘和物探方法得到的结论。
........
2 弹性波动有限差分方程的建立
2.1 瑞雷面波基本理论
地震波按其传播特性可分为体波和面波两大类。体波包含横波和纵波，这两类波可以在三维空间中向任何方向传播，而面波是由于介质分界面的存在而产生的，仅在分界面附近传播。面波又有瑞雷面波、拉夫面波、斯通利波三类，拉夫面波主要与弹性半空间自由表面上的低速薄层相联系，而斯通利波是在弹性半空间介质内部的分界面上，瑞雷面波则主要存在于弹性半空间自由表面或疏松的覆盖层内。1887 年英国学者 Rayleigh 首次在理论上证实瑞雷波的存在，它是由体波中的纵波（P 波）和垂直偏振横波（SV 波）在自由表面相互干涉叠加形成的[54]。在天然地震中，瑞雷波破坏力最大，其在地表附近传播过程中使地表剧烈起伏或挤压、拉伸，造成建筑物破坏损伤，给人民生命财产造成巨大的威胁和损失。随着地震勘探技术的不断进步，瑞雷波却成为了地震勘探中的一种有利信号。相对于体波，瑞雷面波具有一种特殊的性质，在均匀各向同性介质中，其相速度和群速度一致，而在层状介质中其相速度则随着频率的变化而变化，称为频散现象。由fVRR?? 可知，不同的面波波长对应不同的频率，通过测量不同频率下介质的面波速度，即可计算分析出不同深度介质的面波速度，由此推测出不同深度处介质的岩体类型或结构类型。对于不同的介质，瑞雷波水平和垂直振幅的主要能量均大部分集中在深度小于一个波长内，即认为瑞雷波的穿透深度约为一个波长。
.........
2.2 弹性波动方程的建立
地震波在地球介质中的传播规律决定于两方面的因素，一是地震波自身的特性，二是传播介质的弹性特性。在地震勘探中，震源作用时间短，但力很大。所以在震源附近往往形成破碎带，逐渐向外扩展形成塑性带。在离震源较远处，介质受到的力较小，而且作用时间短。故在地震波有效传播范围内，几乎所有岩石均可以近似视为理想弹性体。在弹性极限内的轻微塑性形变常常可忽略不计。地震波是在地质体中传播的机械波，而弹性波是指在弹性介质中传播的机械波，所以可以将地震波看做在地质体中传播的特殊弹性波，在这种理想化的假设前提下，地震波数值模拟可以采用弹性力学中的一些基本理论进行研究[56]。弹性波场相比于声波波场，其携带的信息更丰富和全面，所以其能更好地表征采空区这样的复杂地质体。下面根据弹性介质中位移、应力和应变之间的关系推导出各向同性介质中的弹性波方程其有限差分格式。
.......
3 正演数值模拟中的关键问题....... 17
3.1 交错网格有限差分稳定性分析........ 17
3.2 震源函数的选择........ 18
3.3 有限差分初始值........ 19
3.4 边界条件.... 19
3.5 数值模拟程序设计.... 24
4 瑞雷波在不同类型采空区中的传播正演数值模拟........... 26
4.1 均匀半空间介质模型........ 26
4.2 两层半空间介质模型........ 29
4.3 三层半空间介质模型........ 31
4.4 均匀半空间含采空区介质模型........ 34
4.5 层状半空间含不同尺寸采空区介质模型........ 37
4.6 层状半空间含不同埋深采空区介质模型........ 39
4.7 层状半空间含不同充填物采空区介质模型.... 42
5 瑞雷波法探测工程实例....... 45
5.1 工程概况.... 45
5.2 原理及探测系统........ 46
5.3 模拟结果与实例结果对比........ 48
5 瑞雷波法探测工程实例
为了进一步检验本文对采空区瑞雷波传播正演数值模拟的可行性和有效性，结合“河南省省道 S323 线新密关口至登封张庄段改建工程”项目，将在路面沉陷区域利用浅层地震仪探测下伏煤矿采空区中所测得的结果，与对应的依据实际地质情况建立模型所得数值模拟结果进行对比分析，判断结果是否一致，并期望将瑞雷波法探测技术的理论研究与实际应用进行有利结合，为以后实际工程中利用瑞雷波法探测公路下伏煤矿采空区项目的实践提供一定的理论指导。
5.1 工程概况
省道 S323 线地处河南省郑州市南部，是联系郑州市南部城市之间的重要通道之一。新密市煤矿矿藏丰富，煤矿厂区众多。该 S323 线新密关口至登封张庄段改建工程项目穿过三处煤矿开采区，其中在采空区范围内的路段总长达5.04km，并且有 4.04km 的长度位于大平煤矿采掘范围内。本项目区域属于华南地台南带，地貌单元属黄土台地丘陵，地层近乎齐全，地质较简单，各地层相对比较平缓，根据地质调查和工程钻探资料显示，地层岩性从上至下主要有人工堆积填土、黄土状粉质粘土、卵石、粉质粘土、全风化页岩、强风化泥岩砂岩、煤、中风化泥岩砂岩。在采空区地质条件下，由于煤矿采掘活动的差异，道路随着时间推移，部分路基及路面产生了较大的沉陷与偏移，严重影响了道路的交通，如图 5.1~5.4 所示。在面波勘探中，基于震源、接收方式、资料处理方法的不同，有稳态面波法和瞬态面波法两种。本文采用瞬态瑞雷面波法，用重锤下落人工激发震源产生瑞雷波，地表在脉冲荷载作用下产生振动。在离震源一定的偏移距处，用检波器接收并记录面波的垂直分量。每次激发产生大量不同的频率成分，接下来对记录的瑞雷波信号作频谱分析和处理，可以得到表征频散波频率与速度间关系的频散曲线，进而根据频散曲线特征分析解决所探测的地质问题。
结论
1、本文采用交错网格有限差分法，由一阶速度-应力弹性波动方程出发，用泰勒公式展开进行差分离散，推导了二维弹性波动方程的差分离散迭代格式，又运用 C++语言编写了基于交错网格有限差分法的瑞雷波在公路下伏采空区中传播的数值模拟程序。
2、建立了多种地下半空间介质模型，模型中各层采用均匀各向同性介质，主要利用介质的横波速度、纵波速度和密度等弹性参数模拟瑞雷波在公路下伏采空区中的传播规律。主要对比分析了均匀半空间介质，两层半空间介质，三层半空间介质，均匀半空间含采空区介质以及层状半空间含不同尺寸、埋深、充填物采空区等模型所引起的瑞雷波传播的波场快照和单炮记录特征。
3、通过建立均匀半空间、层状（两层、三层）半空间介质模型，模拟结果表明：瑞雷波在均匀介质中无频散现象，在层状介质中具有频散现象，这与瑞雷波的基本传播理论一致，因此证明了本文数值模拟方法的正确性。
4、通过建立均匀半空间含采空区介质模型，模
