关于相对论与其解的时空分析

一。狭义相对论的时空解及比较 在狭义相对论中，两惯性系相对速度 与 和 平行 （1） （ ）为 坐标系的坐标，（ ）为 坐标系的坐标，令 ， ，所以变换矩阵为 （2） 如果; ,相对速度 不变，那么 (3) 比较 与 （4） （5） 比较后知道（4）式=（5）式 （6） 二。时空观测的定义 为了较方便地说清楚不同的观测结果与不同坐标中长度与时 间的相互比较 的关系，在字母顶部加3个指标， 如： 定义为：左边指标为观察目标所在的坐标系，中间指标为观察者选择的单 位长度与时 间所在的坐标系，右边指标为观察者观察时所在的坐标系。这样有： 其中， 和 是固有时， 与 是固有长度。 三。 的推导 在狭义相对论中有 (6.1) 那么，在什么条件下上式会是普适的呢？ 先来考察欧几里德几何。对观察者而言，在欧几里德几何中的二维空间的坐 标 中，观察到的单位长度 ，与在欧几里德几何中的二维空间坐标 中， 观察到的单位长度 。观察者是无法在长度方面区别 和 的，即 （7） 这是欧几里德几何的观察者假设，也是符合经验的假设，以前从未被指出过。 根据相对论，在四维时空坐标中，时空量表示为： （8） 广义相对论中的不变量原理确定了，任意四维时空坐标都有（8）式。 现在，在非欧几里德的四维时空坐标中，推广欧几里德几何的观察者假设。 先定义一种四维时空坐标，在观察者观察的时 间内，这个坐标内的时空度规 时 间平移不变性和空间平移不变性，令ξ为坐标内时空场ξ= ξ ,(i=1,2,3,4)，表示为李（Lie）微商有 ?ξ gμυ =0 （9） 而 （10） 如果所取的时空体积足够小，即 ，那么总可以成为这种坐标。这种坐 标具有普适性。 在四维时空中,随意取两个这种坐标 和 ，观察者在坐标内所观察到的单 位时空量 和 ，如果观察者不与坐标外其他坐标比较的话，他是无法在 时空量方面区分他在 和坐标内观察到的单位时空量和（观察者在 坐标内观察 时，也不能与 坐标内的比较。他只能分别观察 和 后，再比较 和 ）。这是四维弯曲时空的观察者假设。即观察 者无法区分不同的这种坐标系的固有时 间和固有长度。 这样观察者可以得到 （11） 令 ， ，得： （12） （12.1) 由（9）式和（10）式的定义，观察者总能认为他所在的坐标系内满足 （13） （14） 那么有 （6） 因 所以 有相同的量纲。 所以可以，令 （15） （16） 那么有 （15.1) (16.1) 所以 (17) 而在上述定义的坐标系中，总有 （18） 所以 （19） 这样就有在上述定义的坐标系中，时 间量平方的变化量与空间量平方的变化 量相等。这就是时空的对称变化。可写为 （6） 这里称为时空对称理论。上式的空间量是固有长度 和 ，时 间量则 不是固有时，固有时 和 有下列关系： （20） 而 和 不符合 中的任一 种时 间量的微分，故 （16） 不是真实观测值。 四。Schwarzchild解的分析 用时空对称理论求解Schwarzchild解十分简单，在得到 后，因 （19） 可得 （15.2) (16.1) (13.1) 下面用广义相对论四维时空标架求解Schwarzchild解，并比较时空对称理 论用四维时空标架求解Schwarzchild解的办法 （t=ict , c =1) (21) 这是静态球对称度规的标准形式。 在求解过程中得到 ， （22） 令 ，得到 （23） 令 ，其物理意义是将绝对平直坐标系内的固有时与固有长度之间 物理条件，应用到有引力场的非惯性坐标系。 因此 （16.2) 不是真实观测值。 而固有时 与 之间有 （20.1) 这样 与固有长度的度规 有 （24） 又因为对观测者而言 项是观测不到的，所以观测到的是正交时空 坐标，这样静态球对称度规的标准形式： （t=ict , c =1) （21） 不符合要求，只有 （25） 符合要求。 计算克里斯朵夫联络的非零分量，其中 ， ， ， ， 。 与经典的求解Schwarzchild解的计算值一样。 （26） 也与经典的求解Schwarzchild解的计算值一样，也可得 ， （22） 令 ，Schwarzchild解中的长度量，用固有长度表示有 （23.1） 用时空对称理论求解Schwarzchild解有 （13.1） 因为 项观测不到，任何观测坐标都是正交的